Cuadrados Mágicos

Los cuadrados mágicos, son un conjunto de números enteros diferentes colocados en las casillas de un cuadrado y que se caracterizan porque la sumas de sus filas, columnas y diagonales principales es siempre la misma.

El valor de la suma es denominado Constante mágica del Cuadrado. Los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.

Instalación de PWA en Dispositivos Móviles

Esta es una aplicación que usa tecnología de Aplicación Web Progresiva o PWA por sus siglas en inglés. Permite ser instalada fácilmente desde el navegador nativo de tu dispositivo o sistema operativo. Esto te permitirá usar la app en pantalla completa y creará un ícono de fácil acceso en tu escritorio o pantalla principal.
Aquí tienes unas instrucciones de cómo hacerlo.

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Personalizar el nombre de la aplicación (opcional).
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Ideas y guías para docentes

Estas apps pueden ayudar a despertar la intuición matemática de sus estudiantes.
En esta guía, le ofrecemos algunas sugerencias de cómo las aplicaciones móviles pueden convertirse en herramientas valiosas para despertar la intuición matemática en niños y adolescentes.

Posibles temas a desarrollar con los cuadrados mágicos.

El cuadrado mágico de 3x3 es un rompecabezas matemático clásico e intrigante. También es una excelente manera de explorar varios conceptos matemáticos, como simetría, combinatoria y álgebra.

Un cuadrado mágico es una cuadrícula de números del 1 al 9, dispuestos en una matriz de 3x3, donde la suma de cada fila, columna y diagonal es igual a un valor constante, conocido como "constante mágica". En este caso, la constante mágica es 15. Conviene repetir claramente que cada número del 1 al 9 sólo se puede usar una vez.

Podemos abordar este problema empezando observar que el cuadrado mágico tiene varias simetrías:

Simetría reflexiva diagonal: si reflejas la cuadrícula a lo largo de la diagonal principal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha), obtendrás otra cuadrícula idéntica. Por lo tanto hay 2 reflexiones posibles por cada solución.
Simetría rotacional: si gira la cuadrícula 90 grados (en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj), obtendrá otra cuadrícula idéntica. Por lo tanto hay 4 rotaciones posibles por cada solución.

Estas simetrías nos ayudan a reducir el número de soluciones posibles eliminando configuraciones duplicadas, en este caso cada solución tiene 8 simetrías.

Hay distintos métodos para hallar una solución

Método "a lo loco":

Este método no está mal, todos lo intentamos un poco al principio. Podemos empezar a poner números y viendo cuánto suman. Esta app ayudará a quienes intenten este método haciendo rápido las sumas de cada fila, columna y diagonal. Estos resultados se muestran en forma de una matriz numérica, en este caso son tres filas de tres números separados por comas.

Método reductivo:

Podemos colocar el número 5 en el centro de la cuadrícula. Esto es un buen punto de partida ya que nos deja con las dos filas y dos columnas externas vacías pero en cada una de las restantes (que pasan por el centro).

Podemos ahora acomodar los dígitos faltantes de forma que sumen 10 ya que el 5 se sumará en todas las direcciones que "pasan por el centro": las diagonales, la vertical central y la horizontal central.

Esto significa que podemos acomodar los números en grupos opuestos [1,9], [2,8], [3,7] y [4,6]. Ahora sólo tenemos que acomodar estos pares de números en lugares opuestos de la cuadrícula.

Método algebraico:

Para completar la matriz usando métodos algebraicos podemos empezar colocando los números en un orden específico, aprovechando las simetrías que identificamos anteriormente:

Colocamos el 1 en la esquina superior izquierda, por lo que ya sabemos, ponemos el 9 en la esquina opuesta, abajo a la derecha. La diagonal ya suma 15, así que vamos bien.

1, ?, ?
?, 5, ?
?, ?, 9

Ahora podemos completar los números restantes usando expresiones algebraicas.

Por ejemplo:

1, a, b
c, 5, ?
d, ?, 9

Podemos ver que en la primera fila tenemos:

1 + a + b = 15

Y el la primera columna tenemos:

1 + c + d = 15

Por lo tanto podemos decir que:

a + b = 14
c + d = 14

Sabemos que a, b, c y d no son 1, 5 o 9 que ya están posicionados.

También sabemos que no pueden ser 2, 3 ó 4. Porque no hay ningún número menor que 9 que sumado a 2, 3 ó 4 de 14.

Ahora sólo nos quedan 6, 7 y 8 cómo números posibles de ser a, b, c y d. Pero necesitamos cuatro dígitos y sólo hay tres posibles.

Hemos llegado a un absurdo. ¡El 1 y el 9 no pueden ir en las esquinas!.

Esto es muy bueno, ahora sabemos cómo empezar. Vaciamos la cuadrícula (dejamos sólo el 5 en el centro) y ahora ponemos el 1 y el 9 a ambos lados del 5 y tenemos la fila dos llena correctamente:

?, ?, ?
1, 5, 9
?, ?, ?

Es bueno recordar aquí las propiedades simétricas de este juego. También están bien las siguientes configuraciones que son simétricas a la anterior.

?, ?, ?    ?, 1, ?    ?, 9, ?
9, 5, 1    ?, 5, ?    ?, 5, ?
?, ?, ?    ?, 9, ?    ?, 1, ?

Continuemos con el método algebraico. Sabemos que:

a, ?, c
1, 5, 9
b, ?, d

a + b = 14
c + d = 6

Sólo hay una solución para a y b.

a = 6
b = 8

La simetría reflexiva ahora nos ayuda a entender que a = 8 y b = 6 es una simetría de la misma solución.

Ahora sabemos que:

6, ?, c
1, 5, 9
8, ?, d

Pero sabíamos desde un principio que pares de números debemos poner opuestos con el 5 entre ellos.

El opuesto de 6 es 4 porque 6 + 4 = 10. Así que d = 4.

A su vez, el opuesto de 8 es 2 porque 8 + 2 = 10. Así que c = 2.

6, ?, 2
1, 5, 9
8, ?, 4

Ahora sólo falta preguntar:

6 + ? + 2 = 15
8 + ? + 4 = 15

Los únicos números que nos falta usar son 3 y 7. Es fácil ver que:

6 + 7 + 2 = 15
8 + 3 + 4 = 15

Así que ya podemos resolver el cuadrado mágico.

6, 7, 2
1, 5, 9
8, 3, 4

Y podemos ver la 8 simetrías juntas, que todas son la "misma" solución:

6, 7, 2    2, 7, 6    8, 1, 6    4, 9, 2
1, 5, 9    9, 5, 1    3, 5, 7    3, 5, 7
8, 3, 4    4, 3, 8    4, 9, 2    8, 1, 6

8, 3, 4    4, 3, 8    6, 1, 8    2, 9, 4
1, 5, 9    9, 5, 1    7, 5, 3    7, 5, 3
6, 7, 2    2, 7, 6    2, 9, 4    6, 1, 8