Caleidoscopio matemático

Un caleidoscopio (del mundo real) es un artefacto hecho de tres espejos colocados en forma de prisma triangular. Mediante las reflexiones sucesivas se construye una imagen que cubre el plano, con copias del triángulo interior.

Los ángulos internos de un triángulo rectángulo miden 60 grados.

A partir de las reflexiones en los lados AZUL y ROJO podemos formar, primero un hexágono, con seis copias del triángulo inicial; girando un total de 360 = 6 x 60 grados.

Ojo, pues el número mágico es 360, al colocarlos todos le damos una vuelta completa al vértice. Porque 360 es una vuelta completa

Usando la reflexión en el lado AMARILLO, terminamos por construir toda la imagen del caleidoscopio.

Si en lugar de colocar seis, queremos completar la imagen con tan sólo 3 triángulos, efectivamente, nos sobra un espacio por llenar. Esta es una característica de la geometría plana.

Para este ejemplo usamos un triángulo isósceles, con un ángulo de 90 grados. En este caso, la suma de los tres ángulos apenas nos alcanza para girar 270 grados.

Las matemáticas nos permiten cambiar un poco las reglas del juego; y forzar a que se cierre, permitiendo salirnos del plano. Como en el vértice de un cubo.

Y podemos imaginarnos el caleidoscopio matemático resultante: que ya no llena el plano, sino una esfera. Hay varias presentaciones de este caleidoscopio, que tienen las simetrías del cubo y del dodecaedro.

Si forzamos a juntar suficientes triángulos, de modo que con ellos recorramos más de una vuelta (360°) entonces nuestro caleidoscopio matemático cae en los terrenos de la geometría hiperbólica. La misma que usa el pintor Escher para dibujar sus pinturas. En este universo, hay infinitas posibilidades.

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Ideas y guías para docentes

Algunos temas interesantes sobre Caleidoscopios y las 3 Geometrías:

1. Simetría y Transformaciones Geométricas:

• Definición y Tipos de Simetría: Explorar las diferentes nociones de simetría (reflexión, rotación, traslación, escala) en el plano. Podemos utilizar el caleidoscopio para visualizar algunos ejemplos.
• Transformaciones Geométricas: Introducir las transformaciones geométricas como funciones que mapean figuras geométricas a otras figuras. Relacionar las transformaciones con las acciones del caleidoscopio (rotaciones, reflexiones, traslaciones).
• Álgebra lineal: Definir las matrices y sus operaciones como transformaciones geométricas. Cada transformación geométrica tiene una matriz única que la representa. Multiplicar la matriz por las coordenadas de un punto realiza la transformación correspondiente. Las propiedades de las matrices, como la multiplicación y la inversión, se relacionan con las propiedades de las transformaciones geométricas.
• Grupos de Simetría: Definir el concepto de grupo de simetría y su relación con los patrones repetitivos en los caleidoscopios. Explorar los grupos de simetría de diferentes patrones en la geometría euclidiana.

2. Geometría Euclidiana y No Euclidiana:

• Postulados de Euclides y Geometría Plana: Revisar los postulados de Euclides y su relación con la geometría del plano. Explorar cómo estos postulados se modifican en la geometría esférica y hiperbólica.
• Conceptos Básicos de Geometría Esférica: Introducir los conceptos de triángulos esféricos, círculos máximos, geodésicas y curvatura en la esfera. Relacionar estos conceptos con las propiedades de los caleidoscopios esféricos.
• Geometría Hiperbólica: Explorar los conceptos básicos de la geometría hiperbólica, como líneas hiperbólicas, triángulos hiperbólicos y el plano de Lobachevsky. Analizar cómo se manifiestan estos conceptos en los caleidoscopios hiperbólicos.

Actividades:

• Clasificar imágenes según su tipo de simetría (reflexión, rotación, traslación).
• Crear patrones con simetría utilizando transformaciones geométricas. En la app se puede transformar cualquier figura geométrica que dibujemos y grabemos o fotografiemos.
• Se pueden analizar los grupos de simetría de diferentes patrones en caleidoscopios del plano, la esfera y el espacio hiperbólico.
• Construir triángulos esféricos y geodésicas en una esfera usando un caleidoscopio.
• Investigar las propiedades de los triángulos hiperbólicos y compararlas con los triángulos euclidianos.

Créditos y agradecimientos